1. 在环球城市数学竞赛中，一道经典组合题是：给定一个班级有30个学生，每个人至少有一个朋友，且朋友关系是相互的。证明总有两个人拥有相同数量的朋友。这可以用鸽巢原理解决——朋友数量范围是1到29，但学生数30大于29，所以必有重复。实际解题时，需考虑自反性，避免计数错误。
2. 另一道题涉及图论：一个城市有5个区域，每两个区域间有直达道路，问从A区到E区的最短路径数。答案基于完全图K5，路径计算用排列组合，总路径数为4! = 24，但需排除无效路径，实际为12条。竞赛中常简化模型，强调逻辑推理。
3. 组合设计问题如：设计一个3x3的拉丁方阵，每个数字1-3在行和列中只出现一次。标准解是固定第一行1,2,3，第二行2,3,1，第三行3,1,2。这类题测试模式识别，学生易错在重复数字上。
4. 抽球问题：盒中有5红球3蓝球，随机抽3球不放回，求至少一个红球的概率。用补集法，计算全蓝概率为C(3,3)/C(8,3) = 1/56，所以至少一红为1 - 1/56 = 55/56。竞赛注重步骤清晰，避免概率公式滥用。
5. 整除性组合：从1到100中选10个数，证明必有子集和可被10整除。这用抽屉原理，考虑模10余数分组，学生需理解余数分布和子集构造技巧。
6. 几何组合题：平面有10个点，无三点共线，问可形成多少三角形？直接C(10,3) = 120个。但竞赛常加约束如凸包，增加难度。解题时画图辅助是常见策略。
7. 图着色问题：一个环形网络有6个节点，相邻节点颜色不同，用最少颜色数。答案2色，因环为偶环。实际应用中，学生易忽略奇环情况，需强化分类讨论。
